一、余式定理和因式定理的概念

1、余式定理

余式定理是指一個多項式$P(x)$除以一線性多項式$x-a$的余式是$R(x)$。

我們可以一般化余數(shù)定理。如果$frac{P(x)}{M(x)}$的商式是$Q(x)$、余式是$R(x)$，那么$P(x)=$$M(x)Q(x)+$$R(x)$。其中$R(x)$的次數(shù)會小于$M(x)$的次數(shù)。

2、因式定理

在代數(shù)中，因式定理是關(guān)于一個多項式的因式和零點(diǎn)的定理。這是一個余式定理的特殊情形。因式定理指出，一個多項式$f(x)$有一個因式$(ax-b)$當(dāng)且僅當(dāng)$fleft(frac{a} ight)=0$。

3、多項式的因式分解

因式定理普遍應(yīng)用于找到一個多項式的因式或多項式方程的根的兩類問題。從定理的推論結(jié)果，這些問題基本上是等價的。

若多項式中已知一個或數(shù)個零點(diǎn)，因式定理也可以移除多項式中已知零點(diǎn)的部分，變成一個階數(shù)較低的多項式，其零點(diǎn)即為原多項式中剩下的零點(diǎn)，以簡化多項式求根的過程。方法如下：

（1）先設(shè)法找出多項式$f$的一個零點(diǎn)$a$。

（2）利用因式定理確認(rèn)$(x-a)$是多項式$f(x)$的因式。

（3）計算多項式$g(x)=frac{f(x)}{x-a}$。

（4）$f(x)=0$中，所有滿足$x≠a$的根$x$都是方程式$g(x)=0$的根。因為$g(x)$的多項式階數(shù)較$f(x)$要小。因此要找出多項式$g$的零點(diǎn)可能會比較簡單。

（5）欲使$A=BQ+R$成立，就令除式$BQ=0$，則被除式$A=R$能使此方程式成立則被除式=（商式）（除式）+余式。

二、余式定理的相關(guān)例題

多項式$f(x)$除以$x+3$余1，除以$x+5$余3，則多項式$f(x)$除以$(x+3)$$(x+5)$所得的余式為

A．$-x-2$ B．$3x+4$

C．$x-2$ D．$2x+4$

答案：A

解析：設(shè)$f(x)=$$(x+3)$$(x+5)$$q(x)+$$(ax+b)$由已知可知，$f(x)=$$(x+3)$$q_1(x)+1$，即$f(-3)=1$，$f(x)=(x+5)q_1(x)+3$， 即$f(-5)=3$，因此$egin{cases}f(-3)=-3a+b=1,\f(-5)=-5a+b=3,end{cases}$解得$egin{cases}a=-1,\b=-2,end{cases}$即余式為$-x-2$。故選A。