根據(jù)達(dá)朗貝爾審斂法，收斂半徑R滿足：如果冪級數(shù)滿足，則：ρ是正實數(shù)時，R=1/ρ；ρ= 0時，R=+∞；ρ=+∞時，R=0。根據(jù)根值審斂法，則有柯西-阿達(dá)馬公式。或者，復(fù)分析中的收斂半徑將一個收斂半徑是正數(shù)的冪級數(shù)的變量取為復(fù)數(shù)，就可以定義一個全純函數(shù)。

收斂圓上的斂散性

如果冪級數(shù)在a附近可展，并且收斂半徑為r，那么所有滿足|za|=r的點的集合（收斂圓盤的邊界）是一個圓，稱為收斂圓。冪級數(shù)在收斂圓上可能收斂也可能發(fā)散。即使冪級數(shù)在收斂圓上收斂，也不一定絕對收斂。

例1：冪級數(shù)的收斂半徑是1并在整個收斂圓上收斂。設(shè)h(z)是這個級數(shù)對應(yīng)的函數(shù)，那么h(z)是例2中的g(z)除以z后的導(dǎo)數(shù)。h(z)是雙對數(shù)函數(shù)。

例2：冪級數(shù)的收斂半徑是1并在整個收斂圓上一致收斂，但是并不在收斂圓上絕對收斂。

收斂半徑一般的推導(dǎo)

用第n+1項除以第n項,整個的絕對值,小于1,解出x(或x-a這決定于你級數(shù)的展開)的絕對值小于的值就是收斂半徑收斂域就是求使其收斂的所有的點構(gòu)成的區(qū)域。

比如收斂半徑是r,求收斂域,就是判斷x(或x-a)的對值r時必發(fā)散,所以只要判斷=r時的兩個點是否收斂即可,如過有收斂就把該點并到